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也許你和朋友玩牌時經常大叫「怎麼又是這手牌」、「怎麼又來三個3」、「誰負責洗牌的，都沒有洗開」⋯⋯洗牌究竟要洗多少次才能洗開？或許每個人都想過這個問題。今天，死理性派就來幫你解答這個或許困擾你已久的問題。
三次洗牌遠遠不夠
永遠不要以為，洗個兩三次就能把牌洗開了。很多撲克牌小魔術就利用了三次洗牌遠遠不能把牌洗開的秘密。比方說，我拿出一副新牌給你，由你來負責洗牌。洗一次。再洗一次。你覺得還沒洗開對吧，那就再洗一次。然後，請你偷偷看一眼最上面的那張牌，記下它的花色和點數，然後把它插到這摞牌中間某個位置去，再把整副牌給我。我便能挑出這張被動過的牌。
魔術的原理正如上文所說：把一摞排列有序的牌洗三遍，並不會讓整副牌完全無序，排列順序會有一個很強的規律。移動最上面一張牌的位置會破壞掉這個規律，從而露出馬腳來。
為了更方便地做進一步說明，我們下面只用13張牌來舉例。由於這是一副新牌，初始時這13張牌是有序的：
洗一次牌就相當於把上面這個序列分成前後兩半，然後交錯構成一個新的序列：
因此，洗完一次牌後，依次尋找A,2,3,...,J,Q,K的位置，你會發現它們形成了兩個「上升序列」（分別用兩種顏色標了出來）。
那麼，再洗一次牌會對這個序列造成什麼影響呢？容易看出，第二次洗牌將會把每個上升序列都截成兩半，然後再次相交錯，得到四個上升序列（分別用四種顏色標了出來）：
如果此時把末尾的那張7移到中間去，你會發現這會打破「四個上升序列」的規律。因此，我們很容易辨認出，在下面的撲克牌序列中，7本該放在後面：
但是在上面的例子中，這些上升序列都很短，理論上平均長度僅為13/4=3.25。因此如果對方洗牌技術不佳，魔術有出錯的可能。不過，如果把52張牌洗三次，將產生8個上升序列，平均每個上升序列的長度為52/8=6.5，魔術表演的問題就不大了。
五次洗牌也洗不均勻
我們可以借助「上升序列」的思路來證明，五次洗牌也不能把牌徹底洗均勻，因為有一些排列永遠不能僅用五次洗牌得到。不妨假設初始時撲克牌的順序是1,2,3,…,51,52，五次洗牌後最多會產生25=32個上升序列。但是52,51,…,3,2,1這個排列中有52個上升序列，因此五次洗牌是絕對洗不出這樣的排列的。事實上，所有上升序列數量超過32的排列都是五次洗牌無法得到的，這就證明了五次洗牌也不能把牌洗均勻。
看來，要想把牌洗開，六次是必需的了。
七次洗牌才足夠
那麼，究竟要洗多少次牌，才能讓所有排列出現的概率大致相同呢？你別說，還真有人做過這樣的研究。
1992年，佩爾西·戴康尼斯（PersiDiaconis），美國數學家兼專業魔術師，與哥倫比亞大學的戴夫·拜耳（DaveBayer）一道，為交叉洗牌法建立了一個數學模型，分析了包括上升序列在內的撲克牌排列性質，定義了m次洗牌後得到的排列分佈與平均分佈之間的「總變差距離」，最後發表了一篇20頁長的論文。他們計算出，當撲克牌有52張，洗牌次數分別為1,2,...,10時，總變差距離分別為1.000,1.000,1.000,1.000,0.924,0.614,0.334,0.167,0.085和0.043。可見，五次洗牌才能讓整副牌呈現出隨機性，直到第七次洗牌才會讓隨機性顯著增加；並且在此之後，總變差距離將大致以1/2的比例依次遞減。因而他們的結論就是：七次洗牌才足夠隨機。 |
